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FÓRMULA EMPÍRICA VS MODELO MATEMÁTICO
Otra observación sobre la fórmula de Arrhenius es que no se trata de una ecuación empírica. Esto es, que no se obtuvo midiendo temperaturas de la Tierra variando la absorción de la atmósfera. Esto sería prácticamente imposible por la escala del planeta, además de que sería muy peligroso porque todos los habitantes de la Tierra podríamos terminar quemados o congelados. Para estos casos en que no se puede experimentar directamente, los científicos han inventado los modelos matemáticos de procesos físicos. La ecuación (1) es el modelo matemático y el proceso físico es el calentamiento de la Tierra. Con la fórmula podemos experimentar todo lo que queramos sin correr ningún peligro.
Hagamos la prueba. Veamos cuál es la predicción para el caso en que la atmósfera es completamente transparente. Esto es, cuando ε = 0. Resulta que Ts = 255 °K, lo que equivale a -18 °C. Esto quiere decir que si la atmósfera no tuviera bióxido de carbono todo en la Tierra estaría congelado. Sabemos que actualmente la temperatura promedio de la Tierra es de 15 °C y que con esta temperatura estamos más o menos bien. Veamos ahora cual es la predicción para una atmósfera completamente opaca a la luz infrarroja, o sea cuando ε = 1. El resultado es Ts = 303 °K, lo que equivale a 30 °C. En grados centígrados esto es el doble de la temperatura real de 15 °C. En otras palabras, si la atmósfera fuera completamente opaca a la luz infrarroja entonces tendríamos demasiado calor. Como conclusión podemos decir que la atmósfera no es completamente transparente ni completamente opaca, sino que debe tener una absorción intermedia como ε = 0.5. Para averiguarlo podríamos sustituir este valor en la fórmula (1) y comparar el resultado con el valor real de 15 °C. Si aún obtenemos una temperatura menor a la real podríamos intentarlo de nuevo aumentando la absorción de la atmósfera hasta tener éxito. Sin embargo, seguramente ya se dieron cuenta del juego y que el camino más corto para llegar al objetivo es utilizar la formula inversa (2). Sustituyendo Ts = 15 °C = 288 °K, en grados Kelvin, obtenemos ε = 0.78.
EL MODELO FÍSICO
Todo lo anterior está muy bien en cuanto a utilizar la fórmula para calcular cantidades de interés. Sin embargo, no es suficiente para comprender bien la fórmula. Es necesario también comprender cómo la fórmula se acopla al sistema físico que está representando. Lo primero en aclarar es que el Sol, a su temperatura, emite y envía a la Tierra principalmente luz visible, y que para esta luz la atmósfera es prácticamente transparente, por lo que no hay obstáculos para la entrada de energía. Con todo y que no hay obstáculos, esta energía no es suficiente para calentar la superficie de la Tierra a la temperatura que tiene. El refuerzo proviene del obstáculo en la salida para los rayos de calor que emite la Tierra. La variable ε se refiere a la absorción de los rayos de calor que salen de la Tierra hacia el espacio. La Tierra, a su temperatura, emite solamente rayos de calor invisibles. Esto se muestra gráficamente en la Figura 1.
La historia no termina aquí. Arrhenius utilizó tres leyes de la física que ya eran conocidas en su tiempo. Una de ellas es la ley de Kirchhoff de la radiación térmica, la cual establece que en un objeto en equilibrio térmico la absorción es igual a la emisión. Aplicada a la atmósfera esta ley implica que la energía que se absorbe se vuelve a emitir. La atmósfera la emite tanto hacia el espacio exterior como de regreso a la Tierra, lo cual hace que la Tierra se caliente más que si no tuviera atmósfera. Y sin más preámbulos, éste es el famoso efecto invernadero del planeta Tierra. En sí, se trata de un fenómeno altamente beneficioso para la vida porque hace que la temperatura promedio sea de 15 °C . Sin el efecto invernadero esta temperatura sería de -18 °C. Imagínense la Tierra sin el efecto invernadero. Por cierto, los invernaderos donde se cultivan plantas funcionan de otra manera, simplemente no dejan que el aire caliente ascienda y se escape. Ni el vidrio ni el plástico absorben luz infrarroja.
Las otras dos leyes físicas que utilizó Arrhenius son la conservación de la energía y la ley de Stefan-Boltzmann. Con estas leyes formuló un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas como los que se resuelven en los cursos de álgebra. La solución para una de las variables es la fórmula (1). Hacia el final de esta guía encontrarán una derivación más simple que la que está en Wikipedia.
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